Unterschied zwischen Differenzierung und Derivat

Differenzierung gegen Derivat
 

Bei Differentialkalkül sind Derivat und Differenzierung eng verwandt, aber sehr unterschiedlich und werden verwendet, um zwei wichtige mathematische Konzepte im Zusammenhang mit Funktionen darzustellen.

Was ist derivat?

Die Ableitung einer Funktion misst die Rate, bei der sich der Funktionswert ändert, wenn sich die Eingabe ändert. In Multi-Variable-Funktionen hängt die Änderung des Funktionswerts von der Richtung der Änderung der Werte der unabhängigen Variablen ab. Daher wird in solchen Fällen eine bestimmte Richtung ausgewählt und die Funktion in dieser bestimmten Richtung differenziert. Diese Ableitung wird als Richtungsableitung bezeichnet.  Teilableitungen sind eine besondere Art von Richtungsderivaten.

Ableitung einer vektorwertigen Funktion F kann als die Grenze [Latex] \\ frac df d \\ BOLDSYMBOL U = \\ lim_ h \ to 0 \\ frac f (\\ BOLDSYMBOL X+H \\ BOLDSYMBOL U)-F (\\ BOLDSYMBOL X) H [/latex] wo immer es endlich existiert. Wie bereits erwähnt, gibt dies uns die Erhöhung der Funktionsrate F entlang der Richtung des Vektors u. Im Fall einer einzigen Wertungsfunktion reduziert sich dies auf die bekannte Definition der Ableitung, [Latex] \\ Frac df dx = \\ lim_ h \\ bis 0 \\ Frac f (x+h) -f (x) h [/latex]

Zum Beispiel ist [Latex] f (x) = x^3+4x+5 [/latex] überall differenzierbar, und das Ableitungen entspricht der Grenze, [Latex] \\ lim_ h \\ zu 0 \\ frac (x+h)^3 +4 (x+h)+5- (x^3+4x+5) h [/latex], was gleich [Latex] ist 3x^2 +4 [/latex]. Die Ableitungen von Funktionen wie [Latex] e^x, \\ sin x, \\ cos x [/latex] existieren überall. Sie entsprechen jeweils den Funktionen [Latex] e^x, \\ cos x, - \\ sin x [/latex].                                                                                

Dies ist als erstes Derivat bekannt. Normalerweise die erste Ableitung der Funktion F wird bezeichnet durch F ⁽¹⁾. Wenn Sie diese Notation nun verwenden, ist es möglich, Derivate höherer Ordnung zu definieren. [Latex] \\ Frac d^2 f dx^2 = \\ lim_ h \\ bis 0 \\ frac f^(1) (x+h) -f ^(1) (x) h [/latex] ist die Richtungsableitung zweiter Ordnung und bezeichnet die N^th Derivat durch F ^(N) für jede N, [Latex] \\ Frac d^n f dx^n = \\ lim_ h \\ bis 0 \\ frac f^(n-1) (x+h) -f^(n-1) (x) h [/latex] definiert die N^th Derivat.

Was ist Differenzierung?

Differenzierung ist der Prozess, mit dem die Ableitung einer differenzierbaren Funktion gefunden wird. D-Operator bezeichnet von D repräsentiert die Differenzierung in einigen Kontexten. Wenn X ist dann die unabhängige Variable, dann D ≡ ^D/_dx. Der D-Operator ist ein linearer Operator, ich.e. Für zwei differenzierbare Funktionen F Und G und konstant C, folgende Eigenschaften halten.

ICH.  D(F + g) = D(F) + D (g)

Ii.  D(vgl) = CD(F )

Unter Verwendung des D-Operators können die anderen mit der Differenzierung verbundenen Regeln wie folgt ausgedrückt werden. D(F g) = D(F ) G +f d(G) , D(^F/_G) = ^{[D(F ) G - f d(G)]}/_G² Und D(F  Ö G) = ((D(F) Ö G) D(G).

Zum Beispiel wenn f (X) = X²Sünde X ist in Bezug auf die Differenzierung in Bezug auf X Mit den angegebenen Regeln wird die Antwort 2 seinXSünde X -+ X²cosX.