Unterschied zwischen Zufallsvariablen und Wahrscheinlichkeitsverteilung

Zufallsvariablen gegen Wahrscheinlichkeitsverteilung

Statistische Experimente sind zufällige Experimente, die auf unbestimmte Zeit mit einem bekannten Ergebnis von Ergebnissen wiederholt werden können. Sowohl Zufallsvariablen als auch Wahrscheinlichkeitsverteilungen sind mit solchen Experimenten verbunden. Für jede zufällige Variable gibt es eine zugeordnete Wahrscheinlichkeitsverteilung, die durch eine Funktion definiert ist, die als kumulative Verteilungsfunktion bezeichnet wird.

Was ist eine zufällige Variable?

Eine zufällige Variable ist eine Funktion, die den Ergebnissen eines statistischen Experiments numerische Werte zuweist. Mit anderen Worten, es handelt sich um eine Funktion, die aus dem Stichprobenraum eines statistischen Experiments in den Satz realer Zahlen definiert ist.

Betrachten Sie beispielsweise ein zufälliges Experiment, wie Sie eine Münze zweimal umdrehen. Die möglichen Ergebnisse sind HH, HT, TH und TT (H - Köpfe, T - Geschichten). Sei die Variable x die Anzahl der im Experiment beobachteten Köpfe. Dann kann X die Werte 0, 1 oder 2 nehmen, und es handelt sich um eine zufällige Variable. Hier kartiert die zufällige Variable X den Satz S = HH, HT, TH, TT (den Beispielraum) dem Satz 0, 1, 2 so, dass HH auf 2, HT und TH abgebildet ist werden auf 1 zugeordnet und TT wird auf 0 zugeordnet. In der Funktionsnotation kann dies als, x: s → r geschrieben werden, wobei x (hh) = 2, x (ht) = 1, x (th) = 1 und x (tt) = 0.

Es gibt zwei Arten von Zufallsvariablen: diskret und kontinuierlich, dementsprechend die Anzahl der möglichen Werte, die eine zufällige Variable annehmen kann, ist höchstens zählbar oder nicht. Im vorherigen Beispiel ist die Zufallsvariable x eine diskrete Zufallsvariable, da 0, 1, 2 ein endlicher Satz ist. Betrachten Sie nun das statistische Experiment, die Gewichte der Schüler in einer Klasse zu finden. Sei y die zufällige Variable, die als Gewicht eines Schülers definiert ist. Y kann einen echten Wert innerhalb eines bestimmten Intervalls nehmen. Daher ist y eine kontinuierliche Zufallsvariable.

Was ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung?

Wahrscheinlichkeitsverteilung ist eine Funktion, die die Wahrscheinlichkeit einer zufälligen Variablen beschreibt, die bestimmte Werte nimmt.

Eine Funktion, die als kumulative Verteilungsfunktion (f) bezeichnet wird jedes mögliche Ergebnis x. Jetzt kann die kumulative Verteilungsfunktion von x im ersten Beispiel als f (a) = 0 geschrieben werden, wenn a<0; F(a)=0.25, if 0≤a<1; F(a)=0.75, if 1≤a<2 and F(a)=1, if a≥2.

Bei diskreten Zufallsvariablen kann eine Funktion aus dem Satz möglicher Ergebnisse bis zum Satz von reellen Zahlen so definiert werden, dass ƒ (x) = p (x = x) (die Wahrscheinlichkeit, dass x gleich x ist) Für jedes mögliche Ergebnis x. Diese bestimmte Funktion ƒ wird als Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion der Zufallsvariablen x bezeichnet. Jetzt kann die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion von x im ersten bestimmten Beispiel als ƒ (0) = 0 geschrieben werden.25, ƒ (1) = 0.5, ƒ (2) = 0.25 und ƒ (x) = 0 ansonsten. Somit beschreibt die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion zusammen mit der kumulativen Verteilungsfunktion die Wahrscheinlichkeitsverteilung von x im ersten Beispiel.

Bei kontinuierlichen Zufallsvariablen kann eine Funktion, die als Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (ƒ) bezeichnet wird, als ƒ (x) = df (x)/dx für jedes x definiert werden. Es ist leicht zu erkennen, dass diese Funktion ∫ƒ (x) dx = 1 erfüllt. Die Funktion der Wahrscheinlichkeitsdichte zusammen mit der kumulativen Verteilungsfunktion beschreibt die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer kontinuierlichen Zufallsvariablen. Beispielsweise wird die Normalverteilung (die eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung ist) unter Verwendung der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion ƒ (x) = 1/√ (2πσ) beschrieben²) e^([(x-µ)]²/(2σ²)).