Unterschied zwischen Riemann Integral und Lebesgue Integral

Riemann Integral gegen Lebesgue Integral

Die Integration ist ein Hauptthema im Kalkül. Im Broderer kann die Integration als umgekehrter Differenzierungsprozess angesehen werden. Bei der Modellierung realer Probleme ist es einfach, Ausdrücke mit Derivaten zu schreiben. In einer solchen Situation ist der Integrationsvorgang erforderlich, um die Funktion zu finden, die die jeweilige Ableitung ergab.

Aus einem anderen Blickwinkel ist die Integration ein Prozess, der das Produkt einer Funktion ƒ (x) und Δx zusammenfasst, wobei Δx tendenziell eine bestimmte Grenze ist. Aus diesem Grund verwenden wir das Integrationssymbol als ∫. Das Symbol ∫ ist in der Tat, was wir erhalten, indem wir den Buchstaben S strecken, um sich auf die Summe zu beziehen.

Riemann Integral

Betrachten Sie eine Funktion y = ƒ (x). Das Integral von y dazwischen A Und B, Wo A Und B gehört zu einem Satz X, ist geschrieben als _B∫^Aƒ (x) dx = [F(X)]_A→B = F(B) - F(A). Dies wird als eindeutiges Integral der einzelnen geschätzten und kontinuierlichen Funktion y = ƒ (x) zwischen A und B bezeichnet. Dies gibt den Bereich unter der Kurve zwischen A Und B. Dies wird auch als Riemann Integral bezeichnet. Riemann Integral wurde von Bernhard Riemann geschaffen. Riemann Integral einer kontinuierlichen Funktion basiert auf der Jordan -Maßnahme, daher wird es auch als Grenze der Riemann -Summen der Funktion definiert. Für eine real geschätzte Funktion, die in einem geschlossenen Intervall definiert ist, ist das Riemann -Integral der Funktion in Bezug auf eine Partition x₁, X₂,… , X_N definiert in dem Intervall [a, b] und t₁, T₂,… , T_N, wo x_ich ≤ t_ich ≤ x_i+1 Für jedes i ε 1, 2,…, n ist die Riemann -Summe als σ definiert_{i = o bis n-1} ƒ (t_ich)(X_i+1 - X_ich).

Lebesgue Integral

Lebesgue ist eine andere Art von Integral, die eine Vielzahl von Fällen abdeckt als Riemann Integral. Das Lebesgue Integral wurde 1902 von Henri Lebesgue eingeführt. Integration von Legesgue kann als Verallgemeinerung der Riemann -Integration betrachtet werden.

Warum müssen wir ein weiteres Integral untersuchen??

Betrachten wir die charakteristische Funktion ƒ_{A (x) = 0 wenn, x nicht ε a}^{1 wenn, x ε a} auf einem Satz a. Dann endliche lineare Kombination von charakteristischen Funktionen, die definiert als F(x) = σ a_ichƒE_ich(x) wird als einfache Funktion bezeichnet, wenn E_ich ist für jedes i messbar. Das Lebesgue -Integral von F(x) über E wird bezeichnet durch _E∫ ƒ (x) dx. Die Funktion F(x) ist nicht riemann integrierbar. Daher ist Lebesgue Integral Rephrase Riemann Integral, der einige Einschränkungen für die integrierten Funktionen aufweist.