Unterschied zwischen Teilmengen und ordnungsgemäßen Untergruppen

Untergruppen gegen ordnungsgemäße Teilmengen

Es ist ganz natürlich, die Welt durch Kategorisierung von Dingen in Gruppen zu verwirklichen. Dies ist die Grundlage des mathematischen Konzepts namens "festgelegte Theorie".  Die Set -Theorie wurde im späten neunzehnten Jahrhundert entwickelt, und jetzt ist sie allgegenwärtig in der Mathematik. Nahezu alle Mathematik können unter Verwendung der festgelegten Theorie als Stiftung abgeleitet werden. Die Anwendung der festgelegten Theorie reicht von abstrakter Mathematik bis hin zu allen Fächern in der konkreten physischen Welt.

Untergruppe und ordnungsgemäße Teilmenge sind zwei Terminologien, die häufig in der Satztheorie verwendet werden, um Beziehungen zwischen Sets einzubringen.

Wenn jedes Element in einem Satz A auch ein Mitglied eines Satzes B ist, wird Set A als Teilmenge von B bezeichnet. Dies kann auch als „A in B enthalten“ gelesen werden. Formeller ist a eine Teilmenge von B, die durch A⊆B bezeichnet wird, wenn x∈A x∈B impliziert.

Jeder Satz selbst ist ein Untersatz desselben Satzes, da natürlich auch jedes Element, das sich in einem Satz befindet. Wir sagen, „A ist eine ordnungsgemäße Teilmenge von B“, wenn a eine Teilmenge von B ist, aber A nicht gleich B ist. Um zu bezeichnen, dass A ein ordnungsgemäßes Untersatz von B ist, verwenden wir die Notation A⊂b. Zum Beispiel hat der Set 1,2 4 Teilmengen, aber nur 3 richtige Teilmengen. Weil 1,2 eine Teilmenge ist, aber keine ordnungsgemäße Teilmenge von 1,2.

Wenn ein Satz eine ordnungsgemäße Teilmenge eines anderen Satzes ist, handelt es sich immer um eine Teilmenge dieses Satzes (i.e. Wenn a eine ordnungsgemäße Teilmenge von B ist, bedeutet dies, dass a eine Teilmenge von B ist). Aber es kann Untergruppen geben, die keine ordnungsgemäßen Untergruppen ihrer Superset sind. Wenn zwei Sätze gleich sind, sind sie Untergruppen voneinander, aber keine ordnungsgemäße Untergruppe voneinander.