Unterschied zwischen arithmetischer Sequenz und geometrischer Sequenz
Arithmetische Sequenz gegenüber der geometrischen Sequenz
Die Untersuchung der Zahlenmuster und ihres Verhaltens ist eine wichtige Studie im Bereich der Mathematik. Oft sind diese Muster in der Natur zu sehen und hilft uns, ihr Verhalten in wissenschaftlicher Sicht zu erklären. Arithmetische Sequenzen und geometrische Sequenzen sind zwei der grundlegenden Muster, die in Zahlen auftreten und häufig in natürlichen Phänomenen zu finden sind.
Die Sequenz ist eine Reihe von geordneten Zahlen. Die Anzahl der Elemente in der Sequenz kann entweder endlich oder unendlich sein.
Mehr über die arithmetische Sequenz (arithetrische Progression)
Eine arithmetische Sequenz ist definiert als eine Folge von Zahlen mit einem konstanten Unterschied zwischen jedem aufeinanderfolgenden Term. Es ist auch als arithmetischer Fortschritt bekannt.
Arithmetischer Sequnece ⇒ a1, A2, A3, A4,… , AN ; wo ein2 = a1 + d, a3 = a2 + d und so weiter.
Wenn der anfängliche Begriff a ist1 und der gemeinsame Unterschied ist D, dann der nth Der Begriff der Sequenz ist gegeben durch;
AN = a1 + (n-1) D
Durch das weitere Ergebnis weiterth Der Term kann auch als angegeben werden;
AN = aM + (n-m) D, wo einM ist ein zufälliger Begriff in der Sequenz, so dass n> m.
Der Satz gleicher Zahlen und der Satz von ungeraden Zahlen sind die einfachsten Beispiele für arithmetische Sequenzen, wobei jede Sequenz einen gemeinsamen Unterschied (d) von 2 hat.
Die Anzahl der Begriffe in einer Sequenz kann entweder unendlich oder endlich sein. Im unendlichen Fall (N → ∞) neigt die Sequenz in Abhängigkeit von der gemeinsamen Differenz (aN → ± ∞). Wenn der gemeinsame Unterschied positiv ist (d> 0), neigt die Sequenz zu positiven Unendlichkeit, und wenn der gemeinsame Unterschied negativ ist (d < 0), it tends to the negative infinity. If the terms are finite, the sequence is also finite.
Die Summe der Begriffe in der arithmetischen Sequenz ist als arithmetische Serie bekannt: SN= a1 + A2 + A3 + A4 + ⋯ + aN = ∑i = 1 → n Aich; und sN = (n/2) (a1 + AN) = (n/2) [2a1 + (n-1) d] gibt den Wert der Serien (s) anN).
Mehr über die geometrische Sequenz (geometrische Progression)
Eine geometrische Sequenz ist definiert als eine Sequenz, in der der Quotient von zwei aufeinanderfolgenden Begriffen eine Konstante ist. Dies ist auch als geometrischer Fortschritt bekannt.
Geometrische Sequenz ⇒ a1, A2, A3, A4,… , AN; wo ein2/A1 = r, a3/A2 = R und so weiter, wo r eine reelle Zahl ist.
Es ist einfacher, die geometrische Sequenz unter Verwendung des gemeinsamen Verhältnisses (R) und des anfänglichen Begriffs (a) darzustellen. Daher die geometrische Sequenz ⇒ a1, A1r, a1R2, A1R3,… , A1RN-1.
Die allgemeine Form der nth Begriffe von aN = a1RN-1. (Verlieren des Index des anfänglichen Begriffs ⇒ aN = arN-1)
Die geometrische Sequenz kann auch endlich oder unendlich sein. Wenn die Anzahl der Begriffe endlich ist, soll die Sequenz endlich sein. Und wenn die Begriffe unendlich sind, kann die Sequenz je nach Verhältnis r entweder unendlich oder endlich sein. Das gemeinsame Verhältnis beeinflusst viele Eigenschaften in geometrischen Sequenzen.
| r> o | 0 < r < +1 | Die Sequenz konvergiert - exponentieller Zerfall, ich.e. AN → 0, n → ∞ |
| r = 1 | Konstante Sequenz, ich.e. AN = konstant | |
| r> 1 | Die Sequenz divergiert - exponentielles Wachstum, ich.e. AN → ∞, n → ∞ | |
| R < 0 | -1 < r < 0 | Die Sequenz oszillieren, konvergiert aber |
| r = 1 | Die Sequenz ist abwechseln und konstant, ich.e. AN = ± konstant | |
| R < -1 | Die Sequenz wechselt und divergiert sich. ich.e. AN → ± ∞, n → ∞ | |
| r = 0 | Die Sequenz ist eine Schnur von Nullen |
N.B: In allen obigen Fällen a1 > 0; wenn ein1 < 0, the signs related to aN wird umgekehrt sein.
Das Zeitintervall zwischen den Bounces eines Balls folgt einer geometrischen Sequenz im Idealmodell, und es handelt sich um eine konvergente Sequenz.
Die Summe der Bedingungen der geometrischen Sequenz ist als geometrische Serie bekannt; SN = ar+ ar2 + ar3 + ⋯ + arN = ∑i = 1 → n arich. Die Summe der geometrischen Serie kann unter Verwendung der folgenden Formel berechnet werden.
SN = a (1-rN )/(1-r); wobei a der anfängliche Begriff und R das Verhältnis ist.
Wenn das Verhältnis, r ≤ 1, konvergiert die Serie . Für eine unendliche Reihe wird der Konvergenzwert von s gegebenN = a/(1-r)
Was ist der Unterschied zwischen arithmetischer und geometrischer Sequenz/Progression?
• In einer arithmetischen Reihenfolge haben zwei beliebige aufeinanderfolgende Begriffe einen gemeinsamen Unterschied (d), während in geometrischer Reihenfolge zwei beliebige zwei aufeinanderfolgende Begriffe einen konstanten Quotienten haben (R).
• In einer arithmetischen Reihenfolge ist die Variation der Begriffe linear, ich.e. Eine gerade Linie kann durch alle Punkte gezogen werden. In einer geometrischen Reihe ist die Variation exponentiell; entweder wachsen oder verfallen basierend auf dem gemeinsamen Verhältnis.
• Alle unendlichen arithmetischen Sequenzen sind divergent, während die unendliche geometrische Serie entweder divergent oder konvergent sein kann.
• Die geometrische Serie kann eine Schwingung zeigen, wenn das Verhältnis R negativ ist, während die arithmetische Serie keine Schwingung zeigt
