Unterschied zwischen diskreter Funktion und kontinuierlicher Funktion

Diskrete Funktion vs kontinuierliche Funktion

Funktionen sind eine der wichtigsten Klassen mathematischer Objekte, die in fast allen Unterfeldern der Mathematik ausführlich verwendet werden. Da ihre Namen sowohl diskrete Funktionen als auch kontinuierliche Funktionen vermuten lassen.

Eine Funktion ist eine Beziehung zwischen zwei Sätzen, die so definiert sind, dass für jedes Element im ersten Satz der Wert, der ihm im zweiten Satz entspricht, eindeutig ist. Lassen F Seien Sie eine aus dem Satz definierte Funktion A in Set B. Dann für jedes xϵ a, das Symbol F(x) bezeichnet den eindeutigen Wert im Satz B das entspricht x. Es heißt das Bild von X unter F. Daher eine Beziehung F von a in b ist eine Funktion, wenn und nur wenn für jeweils xϵ a Und y ϵ a; Wenn x = y Dann F(X) = f(y). Der Satz A wird als Domäne der Funktion bezeichnet F, und es ist der Satz, in dem die Funktion definiert ist.

Betrachten Sie zum Beispiel die Beziehung F von r in r definiert durch F(x) = x + 2 für jeden xϵ a. Dies ist eine Funktion, deren Domäne R ist, wie für jede reelle Zahl x und y, x = y impliziert F(x) = x + 2 = y + 2 = F(y). Aber die Beziehung G von n in n definiert durch G(x) = a, wobei 'a' ein Primfaktor von x ist, ist keine Funktion als G(6) = 3 sowie G(6) = 2.

Was ist eine diskrete Funktion?

Eine diskrete Funktion ist eine Funktion, deren Domäne höchstens zählbar ist. Dies bedeutet einfach, dass es möglich ist, eine Liste zu erstellen, die alle Elemente der Domäne enthält.

Jeder endliche Set ist höchstens zählbar. Der Satz natürlicher Zahlen und die Menge an rationalen Zahlen sind Beispiele für höchstens zählbare unendliche Sets. Der Satz realer Zahlen und die Menge der irrationalen Zahlen sind höchstens zählbar. Beide Sets sind unzähliger. Es bedeutet, dass es unmöglich ist, eine Liste zu erstellen, die alle Elemente dieser Sets enthält.

Eine der häufigsten diskreten Funktionen ist die faktorielle Funktion. F : N u 0 → n rekursiv definiert durch F(n) = nF(n-1) für jeden n ≥ 1 und F(0) = 1 wird als faktorielle Funktion bezeichnet. Beachten Sie, dass seine Domäne n u 0 höchstens zählbar ist.

Was ist eine kontinuierliche Funktion?

Lassen F Sei eine Funktion, so dass für jeden K im Bereich von F, F(x) →F(k) als x → k. Dann Fist eine kontinuierliche Funktion. Dies bedeutet, dass es möglich ist zu machen F(x) willkürlich nahe bei F(k) Indem X für jeden K in der Domäne von x ausreichend nahe k nah F.

Betrachten Sie die Funktion F(x) = x + 2 auf r. Es ist zu sehen, dass als x → k, x + 2 → k + 2 das ist F(x) →F(k). Deshalb, F ist eine kontinuierliche Funktion. Jetzt überlegen G auf positive reelle Zahlen G(x) = 1 wenn x> 0 und G(x) = 0 wenn x = 0. Dann ist diese Funktion keine kontinuierliche Funktion als Grenze von G(x) existiert nicht (und daher ist es nicht gleich G(0)) als x → 0.