Unterschied zwischen gegenseitig ausschließlichen und unabhängigen Ereignissen

Gegenseitig ausschließende vs unabhängige Ereignisse

Menschen verwechseln oft das Konzept von gegenseitig ausschließlichen Ereignissen mit unabhängigen Ereignissen. In der Tat sind dies zwei verschiedene Dinge.

Sei a und b zwei beliebige Ereignisse, die mit einem zufälligen Experiment verbunden sind. E. P (a) wird als „Wahrscheinlichkeit von a“ bezeichnet. In ähnlicher Weise können wir die Wahrscheinlichkeit von B als P (B), die Wahrscheinlichkeit von A oder B als P (A∪b) und die Wahrscheinlichkeit von A und B als P (A∩b) definieren. Dann p (a∪b) = p (a)+ p (b) -p (a∩b).

Zwei Ereignisse, die sich jedoch gegenseitig ausschließen, wenn das Auftreten eines Ereignisses das andere nicht beeinflusst. Mit anderen Worten, sie können nicht gleichzeitig auftreten. Wenn also zwei Ereignisse A und B sich gegenseitig ausschließen, dann ist A∩b = ∅ und daher impliziert p (a∪b) = p (a)+ p (b).

Sei a und b zwei Ereignisse in einem Beispielraum s. Die bedingte Wahrscheinlichkeit von a, da B aufgetreten ist, wird mit P (a | b) bezeichnet und als definiert; P (a | b) = p (a∩b)/p (b), bereitgestellt p (b)> 0. (Ansonsten ist es nicht definiert.)

Ein Ereignis A soll unabhängig von einem Ereignis B sein, wenn die Wahrscheinlichkeit, dass A auftritt. Mit anderen Worten, das Ergebnis des Ereignisses B hat keinen Einfluss auf das Ergebnis des Ereignisses A. Daher p (a | b) = p (a). In ähnlicher Weise ist B unabhängig von a if p (b) = P (b | a). Daher können wir zu dem Schluss kommen, dass P (a∩b) = P (a), wenn A und B unabhängige Ereignisse sind, dann sind wir unabhängige Ereignisse.P (b)

Angenommen, ein nummerierter Würfel wird gerollt und eine faire Münze umgedreht. Sei ein Ereignis, bei dem ein Kopf und B das Ereignis sein, das eine gleichmäßige Zahl rollt. Dann können wir zu dem Schluss kommen, dass Ereignisse A und B unabhängig sind, da dieses Ergebnis des einen das Ergebnis des anderen nicht beeinflusst. Daher p (a∩b) = p (a).P (b) = (1/2) (1/2) = 1/4. Da P (a∩b) ≠ 0, können A und B nicht gegenseitig ausschließt werden.

Angenommen, eine Urne enthält 7 weiße Murmeln und 8 schwarze Murmeln. Definieren Sie das Ereignis A als Zeichnen eines weißen Marmors und Ereignisse B als Zeichnen eines schwarzen Marmors. Angenommen, jeder Marmor wird ersetzt, nachdem er seine Farbe festgestellt hat. Das Ersetzen der Murmeln bedeutet, dass sich die Wahrscheinlichkeiten nicht von Draw zum Zeichnen ändern, unabhängig davon, welche Farbe wir auf der letzten Ziehung ausgewählt haben. Daher sind Ereignis A und B unabhängig.

Wenn jedoch Murmeln ohne Ersatz gezeichnet wurden, ändert sich alles. Unter dieser Annahme sind die Ereignisse A und B nicht unabhängig. Das erste Mal einen weißen Marmor zeichnen, ändert die Wahrscheinlichkeit. Mit anderen Worten, jede Zeichnung wirkt sich auf die nächste Ziehung aus, und so sind die einzelnen Ziehungen nicht unabhängig.