Unterschied zwischen orthogonal und orthonormal

Orthogonal gegen orthonormal

In der Mathematik werden die beiden Wörter orthogonal und orthonormal zusammen mit einem Satz von Vektoren verwendet. Hier wird der Begriff "Vektor" in dem Sinne verwendet, dass er ein Element eines Vektorraums ist - eine algebraische Struktur, die in linearer Algebra verwendet wird. Für unsere Diskussion werden wir einen Raum für innere Produkte in Betracht ziehen - einen Vektorraum V zusammen mit einem inneren Produkt [] definiert auf V.

Beispiel für ein inneres Produkt ist der Raum der Satz aller dreidimensionalen Positionsvektoren zusammen mit dem üblichen Punktprodukt.

Was ist orthogonal?

Eine nicht leere Untergruppe S eines inneren Produktraums V soll orthogonal sein, wenn und nur wenn für jeden unterscheidbar u, v In S, [u, v] = 0; ich.e. das innere Produkt von u Und v ist gleich dem Null -Skalar im inneren Produktraum.

Zum Beispiel ist dies im Satz aller dreidimensionalen Positionsvektoren gleichbedeutend mit der Aussage, dass für jedes bestimmte Paar Positionsvektoren P Und Q in s, P Und Q sind senkrecht zueinander. (Denken Sie daran, dass das innere Produkt in diesem Vektorraum das Punktprodukt ist. Außerdem ist das Punktprodukt von zwei Vektoren nur dann 0, wenn die beiden Vektoren senkrecht zueinander sind.)

Betrachten Sie den Satz S = (0,2,0), (4,0,0), (0,0,5), die eine Teilmenge der dreidimensionalen Positionsvektoren ist. Beachten Sie das (0,2,0).(4,0,0) = 0, (4,0,0).(0,0,5) = 0 & (0,2,0).(0,0,5) = 0. Daher der Satz S ist orthogonal. Insbesondere sollen zwei Vektoren orthogonal sein, wenn ihr inneres Produkt 0 ist. Daher jedes Vektorenpaar in Sist orthogonal.

Was ist orthonormal?

Eine nicht leere Untergruppe S eines inneren Produktraums V soll orthonormal sein, wenn und nur wenn S ist orthogonal und für jeden Vektor u In S, [u, u] = 1. Daher ist ersichtlich, dass jedes orthonormale Set orthogonal ist, aber nicht umgekehrt.

Zum Beispiel ist dies im Satz aller dreidimensionalen Positionsvektoren gleichbedeutend mit der Aussage, dass für jedes bestimmte Paar Positionsvektoren P Und Q In S, P Und Q sind senkrecht zueinander und für jeden P In S, | p | = 1. Dies liegt daran, dass der Zustand [P, p] = 1 reduziert sich auf P.p = | p || p |cos0 = | p |²= 1, was gleichwertig zu ist | p | = 1. Daher können wir bei einem orthogonalen Satz immer einen entsprechenden orthonormalen Satz bilden, indem wir jeden Vektor durch seine Größe teilen.

T = (0,1,0), (1,0,0), (0,0,1) ist eine orthonormale Teilmenge des Satzes aller dreidimensionalen Positionsvektoren. Es ist leicht zu erkennen, dass es erhalten wurde, indem jedes der Vektoren in den Satz geteilt wurde S, durch ihre Größen.

Was ist der Unterschied zwischen orthogonal und orthonormal?

• Eine nicht leere Untergruppe S eines inneren Produktraums V soll orthogonal sein, wenn und nur wenn für jeden Unterschied u, v In S, [u, v] = 0. Es ist jedoch orthonormal, wenn und nur wenn eine zusätzliche Bedingung - für jeden Vektor u In S, [u, u] = 1 ist zufrieden.
• Ein orthonormaler Satz ist orthogonal, aber nicht umgekehrt.
• Ein orthogonaler Satz entspricht einem einzigartigen orthonormalen Satz, aber ein orthonormaler Satz kann vielen orthogonalen Sätzen entsprechen.