Unterschied zwischen assoziativ und kommutativ

Assoziativ gegen kommutativ
 

In unserem täglichen Leben müssen wir Zahlen verwenden, wenn wir ein Maß für etwas bekommen müssen. Im Lebensmittelgeschäft, an der Tankstelle und sogar in der Küche müssen wir zwei oder mehr Mengen hinzufügen, subtrahieren und multiplizieren. Aus unserer Praxis führen wir diese Berechnungen ziemlich mühelos durch. Wir bemerken oder fragen nie, warum wir diese Operationen auf diese besondere Weise durchführen. Oder warum diese Berechnungen nicht auf andere Weise durchgeführt werden können. Die Antwort ist in der Art und Weise versteckt, wie diese Operationen im mathematischen Bereich der Algebra definiert sind.

In der Algebra wird eine Operation mit zwei Mengen (z. B. Addition) als binärer Betrieb definiert. Genauer gesagt handelt es sich um eine Operation zwischen zwei Elementen eines Satzes und diese Elemente werden als "Operand" bezeichnet. Viele Operationen in der Mathematik, einschließlich arithmetischer Operationen, die zuvor erwähnt wurden, und diejenigen, die in der festgelegten Theorie, linearen Algebra und mathematischen Logik auftreten können, können als binäre Operationen definiert werden.

Es gibt eine Reihe von Regeln für einen bestimmten binären Betrieb. Assoziativ und die kommutativen Eigenschaften sind zwei grundlegende Eigenschaften der binären Operationen.

Mehr über kommutatives Eigentum

Angenommen, eine binäre Operation, die durch das Symbol ⊗ gekennzeichnet ist, wird an den Elementen durchgeführt A Und B. Wenn die Reihenfolge der Operanden das Ergebnis der Operation nicht beeinflusst, soll die Operation kommutativ sein. ich.e. Wenn A ⊗ B = B ⊗ A Dann ist die Operation kommutativ.

Die Addition und Multiplikation der arithmetischen Operationen sind kommutativ. Die Reihenfolge der Zahlen, die zusammengefügt oder miteinander vervielfacht werden, hat keinen Einfluss auf die endgültige Antwort:

A + B = B + A     ⇒ 4 + 5 = 5 + 4 = 9

A × B = B × A     ⇒ 4 × 5 = 5 × 4 = 20

Im Falle einer Divisionsänderung in der Reihenfolge gibt es jedoch den Gegenstand des anderen, und in der Subtraktion gibt die Änderung das Negative des anderen. Deshalb,

A - B ≠ B - A     ⇒ 4 - 5 = -1 und 5 - 4 = 1

A ÷ B ≠ B ÷ A     ⇒ 4 ÷ 5 = 0.8 und 5 ÷ 4 = 1.25 [in diesem Fall A,B ≠ 1 und 0]

Tatsächlich soll die Subtraktion antikommutativ sein; Wo A - B = - ((B - A).

Auch die logischen Konnektiven, die Konjunktion, die Disjunktion, die Implikation und die Äquivalenz sind auch kommutativ. Wahrheitsfunktionen sind ebenfalls kommutativ. Die Set Operations Union und Kreuzung sind kommutativ. Addition und das skalare Produkt der Vektoren sind ebenfalls kommutativ.

Das Vektor-Subtraktion und das Vektorprodukt sind jedoch nicht kommutativ (Vektorprodukt zweier Vektoren ist antikommutativ). Die Matrixzusatz ist kommutativ, aber die Multiplikation und die Subtraktion sind nicht kommutativ. (Die Multiplikation von zwei Matrizen kann in besonderen Fällen kommutativ sein, z

Mehr über assoziatives Eigentum

Eine binäre Operation soll assoziativ sein, wenn die Reihenfolge der Ausführung das Ergebnis nicht beeinflusst, wenn zwei oder mehr Ereignisse des Bedieners vorhanden sind. Betrachten Sie die Elemente A, b Und C und die binäre Operation ⊗ . Die Operation ⊗ soll assoziativ sein, wenn

A ⊗ B ⊗ C = A ⊗ (B ⊗ C) = ((A ⊗ B) ⊗ C

Aus den grundlegenden arithmetischen Funktionen sind nur Addition und Multiplikation assoziativ.

A + (B + C) = ((A + B) + C     ⇒ 4 + (5 + 3) = (5 + 4) + 3 = 12

A × (B × C) = ((A × B) × C     ⇒ 4 × (5 × 3) = (5 × 4) × 3 = 60

Die Subtraktion und die Teilung sind nicht assoziativ;

A - (B - C) ≠ (A - B) - C     ⇒ 4 - (5 - 3) = 2 und (5 - 4) - 3 = -2

A ÷ (B ÷ C) ≠ (A ÷ B) ÷ C     ⇒ 4 ÷ (5 ÷ 3) = 2.4 und (5 ÷ 4) ÷ 3 = 0.2666

Die disjunktion, Konjunktion und Äquivalenz der logischen Konnektiven sind assoziativ, ebenso wie die SET Operations Union und Kreuzung. Die Addition der Matrix und der Vektor sind assoziativ. Das skalare Produkt von Vektoren ist assoziativ, das Vektorprodukt nicht. Die Matrix -Multiplikation ist nur unter besonderen Umständen assoziativ.

Was ist der Unterschied zwischen kommutativem und assoziativem Eigentum?

• Sowohl assoziatives Eigentum als auch das kommutative Eigentum sind besondere Eigenschaften der binären Operationen, und einige erfüllen sie und einige nicht.

• Diese Eigenschaften sind in vielen Formen algebraischer Operationen und anderer binärer Operationen in der Mathematik wie der Schnittstelle und Vereinigung in der festgelegten Theorie oder den logischen Konnektiven zu beobachten.

• Der Unterschied zwischen kommutativem und assoziativem Unterschied besteht darin, dass die kommutative Eigenschaft feststellt.