Unterschied zwischen Derivat und Differential

Derivat gegen Differential
 

In Differentialkalkül sind derivat und differential einer Funktion eng miteinander verbunden, haben jedoch sehr unterschiedliche Bedeutungen und werden verwendet, um zwei wichtige mathematische Objekte im Zusammenhang mit differenzierbaren Funktionen darzustellen.

Was ist derivat?

Die Ableitung einer Funktion misst die Rate, bei der sich der Funktionswert ändert, wenn sich die Eingabe ändert. In Multi-Variable-Funktionen hängt die Änderung des Funktionswerts von der Richtung der Änderung der Werte der unabhängigen Variablen ab. Daher wird in solchen Fällen eine bestimmte Richtung ausgewählt und die Funktion in dieser bestimmten Richtung differenziert. Diese Ableitung wird als Richtungsableitung bezeichnet.  Teilableitungen sind eine besondere Art von Richtungsderivaten.

Ableitung einer vektorwertigen Funktion F kann als die Grenze [Latex] \\ frac df d \\ BOLDSYMBOL U = \\ lim_ h \ to 0 \\ frac f (\\ BOLDSYMBOL X+H \\ BOLDSYMBOL U)-F (\\ BOLDSYMBOL X) H [/latex] wo immer es endlich existiert. Wie bereits erwähnt, gibt dies uns die Erhöhung der Funktionsrate F entlang der Richtung des Vektors u. Im Fall einer einzigen Wertungsfunktion reduziert sich dies auf die bekannte Definition der Ableitung, [Latex] \\ Frac df dx = \\ lim_ h \\ bis 0 \\ Frac f (x+h) -f (x) h [/latex]

Zum Beispiel ist [Latex] f (x) = x^3+4x+5 [/latex] überall differenzierbar, und das Ableitungen entspricht der Grenze, [Latex] \\ lim_ h \\ zu 0 \\ frac (x+h)^3 +4 (x+h)+5- (x^3+4x+5) h [/latex], was gleich [Latex] ist 3x^2 +4 [/latex]. Die Ableitungen von Funktionen wie [Latex] e^x, \\ sin x, \\ cos x [/latex] existieren überall. Sie entsprechen jeweils den Funktionen [Latex] e^x, \\ cos x, - \\ sin x [/latex].                                                                                

Dies ist als erstes Derivat bekannt. Normalerweise die erste Ableitung der Funktion F wird bezeichnet durch F ⁽¹⁾. Wenn Sie diese Notation nun verwenden, ist es möglich, Derivate höherer Ordnung zu definieren. [Latex] \\ Frac d^2 f dx^2 = \\ lim_ h \\ bis 0 \\ frac f^(1) (x+h) -f ^(1) (x) h [/latex] ist die Richtungsableitung zweiter Ordnung und bezeichnet die N^th Derivat durch F ^(N) für jede N, [Latex] \\ Frac d^n f dx^n = \\ lim_ h \\ bis 0 \\ frac f^(n-1) (x+h) -f^(n-1) (x) h [/latex] definiert die N^th Derivat.

Was ist Differential?

Die Differenz einer Funktion repräsentiert die Änderung der Funktion in Bezug auf Änderungen in der unabhängigen Variablen oder Variablen. In der üblichen Notation für eine bestimmte Funktion F einer einzelnen Variablen X, das Gesamtunterschied von Order 1 df ist gegeben durch, [latex] df = f^1 (x) dx [/latex]. Dies bedeutet, dass für eine infinitesimale Veränderung in X(ich.e. DX), es wird eine geben  F ⁽¹⁾(X)DX verändern in F.

Wenn Sie Grenzen verwenden, kann man diese Definition wie folgt haben. Angenommen ∆X ist die Änderung in X an einem willkürlichen Punkt X und ∆F ist die entsprechende Änderung in der Funktion F. Es kann gezeigt werden, dass ∆f = f ⁽¹⁾(X) ∆X+ ϵ, wo ϵ der Fehler ist. Nun die Grenze ∆x →0^∆F/_∆X= F ⁽¹⁾(X) (unter Verwendung der zuvor angegebenen Definition von Derivat) und damit ∆x →0^ϵ/_∆X= 0. Daher ist es möglich zu schließen, dass ∆x →0ϵ = 0. Jetzt bezeichnet ∆x →0 ∆F als dF und ∆x →0 ∆X als dX Die Definition des Differentials wird streng erhalten. 

Zum Beispiel ist die Differential der Funktion [Latex] f (x) = x^3+4x+5 [/latex] [Latex] (3x^2 +4) dx [/latex].

Bei Funktionen von zwei oder mehr Variablen wird die Gesamtdifferenz einer Funktion als die Summe der Differenz in den Richtungen jeder der unabhängigen Variablen definiert. Mathematisch kann es als [Latex] df = \\ sum_ i = 1^n \\ frac \\ partial f \\ partial x_ i dx_ i [/latex] angegeben werden.